Propriétés algébriques

Propriété Relation fonctionnelle

Pour tous réels \(x\)  et \(y\)  strictement positifs, on a \(\boldsymbol{\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)}\) .

Démonstration

On rappelle que, pour tous réels \(A\)  et \(B\) , \(\text{e}^A=\text{e}^B \Leftrightarrow A=B\) .
Soit \(x\)  et \(y\)  deux réels strictement positifs.
\(\text{e}^{\ln (xy)} = xy\)
\(\text{e}^{\ln (xy)} = \text{e}^{\ln (x)}\times \text{e}^{\ln (y)}\)  car \(x=\text{e}^{\ln(x)}\)  et \(y=\text{e}^{\ln(y)}\)
\(\text{e}^{\ln (xy)} = \text{e}^{\ln (x)+\ln (y)}\)  d'après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
Donc  \(\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\) .

Propriétés algébriques

Pour tous réels \(x\)  et \(y\)  strictement positifs :

• \(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln(x)\)
  
• \(\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)\)
  
• Pour tout entier relatif \(k\) , on a \(\ln(x^k)=k\ln(x)\)
  
• \(\ln(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2}\ln(x)\)